Урок и презентация на тему: "Степень с отрицательным показателем. Определение и примеры решения задач"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Пособие к учебнику Муравина Г.К.    Пособие к учебнику Алимова Ш.А.

Определение степени с отрицательным показателем

Ребята, мы с вами хорошо умеем возводить числа в степень.
Например: $2^4=2*2*2*2=16$  ${(-3)}^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.

Мы хорошо знаем, что любое число в нулевой степени равно единице. $a^0=1$, $a≠0$.
Возникает вопрос, а что будет, если возвести число в отрицательную степень? Например, чему будет равно число $2^{-2}$?
Первые математики, задавшиеся этим вопросом, решили, что изобретать велосипед заново не стоит, и хорошо, чтобы все свойства степеней оставались прежними. То есть при умножении степеней с одинаковым основанием, показатели степени складываются.
Давайте рассмотрим такой случай: $2^3*2^{-3}=2^{3-3}=2^0=1$.
Получили, что произведение таких чисел должно давать единицу. Единица в произведении получается при перемножении обратных чисел, то есть $2^{-3}=\frac{1}{2^3}$.

Такие рассуждения привели к следующему определению.
Определение. Если $n$ – натуральное число и $а≠0$, то выполняется равенство: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

Важное тождество, которое часто используется: $(\frac{a}{b})^{-n}=(\frac{b}{a})^n$.
В частности, $(\frac{1}{a})^{-n}=a^n$.

Примеры решения

Пример 1.
Вычислите: $2^{-3}+(\frac{2}{5})^{-2}-8^{-1}$.

Решение.
Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.
1. $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{2*2*2}=\frac{1}{8}$.
2. $(\frac{2}{5})^{-2}=(\frac{5}{2})^2=\frac{5^2}{2^2}=\frac{25}{4}$.
3. $8^{-1}=\frac{1}{8}$.
Осталось выполнить операции сложения и вычитания: $\frac{1}{8}+\frac{25}{4}-\frac{1}{8}=\frac{25}{4}=6\frac{1}{4}$.
Ответ: $6\frac{1}{4}$.

Пример 2.
Представить заданное число в виде степени простого числа $\frac{1}{729}$.

Решение.
Очевидно, что $\frac{1}{729}=729^{-1}$.
Но 729 - не простое число, заканчивающиеся на 9. Можно предположить, что это число является степенью тройки. Последовательно разделим 729 на 3.
1) $\frac{729}{3}=243$;
2) $\frac{243}{3}=81$;
3) $\frac{81}{3}=27$;
4) $\frac{27}{3}=9$;
5) $\frac{9}{3}=3$;
6) $\frac{3}{3}=1$.
Выполнено шесть операций и значит: $729=3^6$.
Для нашей задачи:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Ответ: $3^{-6}$.

Пример 3. Представьте выражение в виде степени: $\frac{a^6*(a^{-5})^2}{(a^{-3}*a^8)^{-1}}$.
Решение. Первое действие выполняется всегда внутри скобок, затем умножение $\frac{a^6*(a^{-5})^2}{(a^{-3}*a^8)^{-1}}=\frac{a^6*a^{-10}}{(a^5)^{-1}}=\frac{a^{(-4)}}{a^{(-5)}}=a^{-4-(-5)}=a^{-4+5}=a$.
Ответ: $a$.

Пример 4. Докажите тождество:
$(\frac{y^2 (xy^{-1}-1)^2}{x(1+x^{-1}y)^2}*\frac{y^2(x^{-2}+y^{-2})}{x(xy^{-1}+x^{-1}y)}):\frac{1-x^{-1} y}{xy^{-1}+1}=\frac{x-y}{x+y}$.

Решение.
В левой части рассмотрим каждый сомножитель в скобках отдельно.
1. $\frac{y^2(xy^{-1}-1)^2}{x(1+x^{-1}y)^2}=\frac{y^2(\frac{x}{y}-1)^2}{x(1+\frac{y}{x})^2} =\frac{y^2(\frac{x^2}{y^2}-2\frac{x}{y}+1)}{x(1+2\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2})}=\frac{x^2-2xy+y^2}{x+2y+\frac{y^2}{x}}=\frac{x^2-2xy+y^2}{\frac{x^2+2xy+y^2}{x}}=\frac{x(x^2-2xy+y^2)}{(x^2+2xy+y^2)}$.
2. $\frac{y^2(x^{-2}+y^{-2})}{x(xy^{-1}+x^{-1}y)}=\frac{y^2(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})}{x(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})} =\frac{\frac{y^2}{x^2}+1}{\frac{x^2}{y}+y}=\frac{\frac{y^2+x^2}{x^2}}{{\frac{x^2+y^2}{y}}}=\frac{y^2+x^2}{x^2} *\frac{y}{x^2+y^2}=\frac{y}{x^2}$.
3. $\frac{x(x^2-2xy+y^2)}{(x^2+2xy+y^2)}*\frac{y}{x^2}=\frac{y(x^2-2xy+y^2)}{x(x^2+2xy+y^2)}=\frac{y(x-y)^2}{x(x+y)^2}$.
4. Перейдем к дроби, на которую делим.
$\frac{1-x^{-1}y}{xy^{-1}+1}=\frac{1-\frac{y}{x}}{\frac{x}{y}+1}=\frac{\frac{x-y}{x}}{\frac{x+y}{y}}=\frac{x-y}{x}*\frac{y}{x+y}=\frac{y(x-y)}{x(x+y)}$.
5. Выполним деление.
$\frac{y(x-y)^2}{x(x+y)^2}:\frac{y(x-y)}{x(x+y)}=\frac{y(x-y)^2}{x(x+y)^2}*\frac{x(x+y)}{y(x-y)}=\frac{x-y}{x+y}$.
Получили верное тождество, что и требовалось доказать.

В конце урока еще раз запишем правила действий со степенями, здесь показатель степени - это целое число.
$a^s*a^t=a^{s+t}$.
$\frac{a^s}{a^t}=a^{s-t}$.
$(a^s)^t=a^{st}$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac{a}{b})^s=\frac{a^s}{b^s}$.

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислите: $3^{-2}+(\frac{3}{4})^{-3}+9^{-1}$.
2. Представить заданное число в виде степени простого числа $\frac{1}{16384}$.
3. Представьте выражение в виде степени:
$\frac{b^{-8}*(b^3)^{-4}}{(b^2*b^{-7})^3}$.
4. Докажите тождество:
$(\frac{b^{-m}-c^{-m}}{b^{-m}+c^{-m}}+\frac{b^{-m}+c^{-m}}{c^{-m}-b^{-m}})=\frac{4}{b^m c^{-m}-b^{-m}c^m} $.

В одной из предыдущих статей мы уже упоминали о степени числа. Сегодня мы постараемся сориентироваться в процессе нахождения ее значения. Научно говоря, мы будем выяснять, как правильно возводить в степень. Мы разберемся, как производится этот процесс, одновременно затронем все вероятные показатели степени: натуральный, иррациональный, рациональный, целый.

Итак, давайте подробно рассмотрим решения примеров и выясним, что значит:

1. Определение понятия.
2. Возведение в отрицательную ст.
3. Целый показатель.
4. Возведение числа в иррациональную степень.

Определение понятия

Вот точно отражающее смысл определение: «Возведением в степень называют определение значения степени числа».

Соответственно, возведение числа a в ст. r и процесс нахождения значения степени a с показателем r - это идентичные понятия. К примеру, если стоит задача вычислить значение степени (0,6)6″, то ее можно упростить до выражения «Возвести число 0,6 в степень 6».

После этого можно приступать напрямую к правилам возведения.

Возведение в отрицательную степень

Для наглядности следует обратить внимание на такую цепочку выражений:

110=0,1=1* 10 в минус 1 ст.,

1100=0,01=1*10 в минус 2 степ.,

11000=0,0001=1*10 в минус 3 ст.,

110000=0,00001=1*10 в минус 4 степeни.

Благодаря данным примерам можно четко просмотреть возможность моментально вычислить 10 в любой минусовой степени. Для этой цели достаточно банально сдвигать десятичную составляющую:

• 10 в -1 степeни - перед единицей 1 ноль;
• в -3 - три нуля перед единицей;
• в -9 - это 9 нулей и проч.

Так же легко понять по данной схеме, сколько будет составлять 10 в минус 5 ст. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Как возвести число в натуральную степeнь

Вспоминая определение, учитываем, что натуральное число a в ст. n равняется произведению из n множителей, при этом каждый из них равняется a. Проиллюстрируем: (а*а*…а)n, где n - это количество чисел, которые умножаются. Соответственно, чтобы a возвести в n, необходимо рассчитать произведение следующего вида: а*а*…а разделить на n раз.

Отсюда становится очевидно, что возведение в натуральную ст. опирается на умение осуществлять умножение (этот материал освещен в разделе про умножение действительных чисел). Давайте рассмотрим задачу:

Возведите -2 в 4-ю ст.

Мы имеем дело с натуральным показателем. Соответственно, ход решения будет следующим: (-2) в cт. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Теперь осталось только осуществить умножение целых численностей:(-2)*(-2)*(-2)*(-2). Получаем 16.

Ответ на задачу:

(-2) в ст. 4=16.

Пример:

Вычислите значение: три целых две седьмых в квадрате.

Данный пример равняется следующему произведению: три целых две седьмых умножить на три целых две седьмых. Припомнив, как осуществляется умножение смешанных чисел, завершаем возведение:

• 3 целых 2 седьмых умножить на самих себя;
• равно 23 седьмых умножить на 23 седьмых;
• равно 529 сорок девятых;
• сокращаем и получаем 10 тридцать девять сорок девятых.

Ответ: 10 39/49

Касаемо вопроса возведения в иррациональный показатель, следует отметить что расчеты начинают проводить после завершения предварительного округления основы степени до какого-либо разряда, который позволил бы получить величину с заданной точностью. К примеру, нам необходимо возвести число П (пи) в квадрат.

Начинаем с того, что округляем П до сотых и получаем:

П в квадрате = (3,14)2=9,8596. Однако если сократить П до десятитысячных, получим П=3,14159. Тогда возведение в квадрат получает совсем другое чиcло: 9,8695877281.

Здесь следует отметить, что во многих задачах нет надобности возводить иррациональные числа в cтeпeнь. Как правило, ответ вписывается или в виде, собственно, степени, к примеру, корень из 6 в степени 3, либо, если позволит выражение, проводится его преобразование: корень из 5 в 7 cтепeни = 125 корень из 5.

Как возвести чиcло в целую степень

Эту алгебраическую манипуляцию уместно принимать во внимание для следующих случаев:

• для целых чисел;
• для нулевого показателя;
• для целого положительного показателя.

Поскольку практически все целые положительные числа совпадают с массой чисел натуральных, то постановка в положительную целую степень - это тот же процесс, что и постановка в ст. натуральную. Данный процесс мы описали в предшествующем пункте.

Теперь поговорим о вычислении ст. нулевой. Мы уже выяснили выше, что нулевую степень числа a можно определить для любого отличного от нуля a (действительного), при этом a в ст. 0 будет равно 1.

Соответственно, возведение какого угодно действительного числа в нулевую ст. будет давать единицу.

К примеру, 10 в ст.0=1, (-3,65)0=1, а 0 в ст. 0 нельзя определить.

Для того чтобы завершить возведение в целую степень, остается определиться с вариантами целых отрицательных значений. Мы помним, что ст. от a с целым показателем -z будет определяться как дробь. В знаменателе дроби располагается ст. с целым положительным значением, значение которой мы уже научились находить. Теперь остается лишь рассмотреть пример возведения.

Пример:

Вычислить значение числа 2 в кубе с целым отрицательным показателем.

Процесс решения:

Согласно определению стeпeни с отрицательным показателем обозначаем: два в минус 3 ст. равняется один к двум в третьей cтепeни.

Знаменатель рассчитывается просто: два в кубе;

3 = 2*2*2=8.

Ответ: два в минус 3-й ст. = одна восьмая.

Видео

Из этого видео вы узнаете, что делать, если степень с отрицательным показателем.

В рамках этого материала мы разберем, что такое степень числа. Помимо основных определений мы сформулируем, что такое степени с натуральными, целыми, рациональными и иррациональными показателями. Как всегда, все понятия будут проиллюстрированы примерами задач.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Сначала сформулируем базовое определение степени с натуральным показателем. Для этого нам понадобится вспомнить основные правила умножения. Заранее уточним, что в качестве основания будем пока брать действительное число (обозначим его буквой a), а в качестве показателя – натуральное (обозначим буквой n).

Определение 1

Степень числа a с натуральным показателем n – это произведение n -ного числа множителей, каждый из которых равен числу а. Записывается степень так: a n , а в виде формулы ее состав можно представить следующим образом:

Например, если показатель степени равен 1 , а основание – a , то первая степень числа a записывается как a 1 . Учитывая, что a – это значение множителя, а 1 – число множителей, мы можем сделать вывод, что a 1 = a .

В целом можно сказать, что степень – это удобная форма записи большого количества равных множителей. Так, запись вида 8 · 8 · 8 · 8 можно сократить до 8 4 . Примерно так же произведение помогает нам избежать записи большого числа слагаемых (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4) ; мы это уже разбирали в статье, посвященной умножению натуральных чисел.

Как же верно прочесть запись степени? Общепринятый вариант – « a в степени n ». Или можно сказать « n -ная степень a » либо « a n -ной степени». Если, скажем, в примере встретилась запись 8 12 , мы можем прочесть « 8 в 12 -й степени», « 8 в степени 12 » или « 12 -я степень 8 -ми».

Вторая и третья степени числа имеют свои устоявшиеся названия: квадрат и куб. Если мы видим вторую степень, например, числа 7 (7 2) , то мы можем сказать « 7 в квадрате» или «квадрат числа 7 ». Аналогично третья степень читается так: 5 3 – это «куб числа 5 » или « 5 в кубе». Впрочем, употреблять стандартную формулировку «во второй/третьей степени» тоже можно, это не будет ошибкой.

Пример 1

Разберем пример степени с натуральным показателем: для 5 7 пятерка будет основанием, а семерка – показателем.

В основании не обязательно должно стоять целое число: для степени (4 , 32) 9 основанием будет дробь 4 , 32 , а показателем – девятка. Обратите внимание на скобки: такая запись делается для всех степеней, основания которых отличаются от натуральных чисел.

Например: 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .

Для чего нужны скобки? Они помогают избежать ошибок в расчетах. Скажем, у нас есть две записи: (− 2) 3 и − 2 3 . Первая из них означает отрицательное число минус два, возведенное в степень с натуральным показателем три; вторая – число, соответствующее противоположному значению степени 2 3 .

Иногда в книгах можно встретить немного другое написание степени числа – a ^ n (где а – основание, а n - показатель). То есть 4 ^ 9 – это то же самое, что и 4 9 . В случае, если n представляет собой многозначное число, оно берется в скобки. Например, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Но мы будем использовать обозначение a n как более употребительное.

О том, как вычислить значение степени с натуральным показателем, легко догадаться из ее определения: нужно просто перемножить a n -ное число раз. Подробнее об этом мы писали в другой статье.

Понятие степени является обратным другому математическому понятию – корню числа. Если мы знаем значение степени и показатель, мы можем вычислить ее основание. Степень обладает некоторыми специфическими свойствами, полезными для решения задач, которые мы разобрали в рамках отдельного материала.

В показателях степени могут стоять не только натуральные числа, но и вообще любые целые значения, в том числе отрицательные и нули, ведь они тоже принадлежат к множеству целых чисел.

Определение 2

Степень числа с целым положительным показателем можно отобразить в виде формулы: .

При этом n – любое целое положительное число.

Разберемся с понятием нулевой степени. Для этого мы используем подход, учитывающий свойство частного для степеней с равными основаниями. Оно формулируется так:

Определение 3

Равенство a m: a n = a m − n будет верно при условиях: m и n – натуральные числа, m < n , a ≠ 0 .

Последнее условие важно, поскольку позволяет избежать деления на ноль. Если значения m и n равны, то мы получим следующий результат: a n: a n = a n − n = a 0

Но при этом a n: a n = 1 - частное равных чисел a n и a . Выходит, что нулевая степень любого отличного от нуля числа равна единице.

Однако такое доказательство не подходит для нуля в нулевой степени. Для этого нам нужно другое свойство степеней – свойство произведений степеней с равными основаниями. Оно выглядит так: a m · a n = a m + n .

Если n у нас равен 0 , то a m · a 0 = a m (такое равенство также доказывает нам, что a 0 = 1 ). Но если а также равно нулю, наше равенство приобретает вид 0 m · 0 0 = 0 m , Оно будет верным при любом натуральном значении n , и неважно при этом, чему именно равно значение степени 0 0 , то есть оно может быть равно любому числу, и на верность равенства это не повлияет. Следовательно, запись вида 0 0 своего особенного смысла не имеет, и мы не будем ему его приписывать.

При желании легко проверить, что a 0 = 1 сходится со свойством степени (a m) n = a m · n при условии, что основание степени не равно нулю. Таким образом, степень любого отличного от нуля числа с нулевым показателем равна единице.

Пример 2

Разберем пример с конкретными числами: Так, 5 0 - единица, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , а значение 0 0 не определено.

После нулевой степени нам осталось разобраться, что из себя представляет степень отрицательная. Для этого нам понадобится то же свойство произведения степеней с равными основаниями, которое мы уже использовали выше: a m · a n = a m + n .

Введем условие: m = − n , тогда a не должно быть равно нулю. Из этого следует, что a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1 . Выходит, что a n и a − n у нас являются взаимно обратными числами.

В итоге a в целой отрицательной степени есть не что иное, как дробь 1 a n .

Такая формулировка подтверждает, что для степени с целым отрицательным показателем действительны все те же свойства, которыми обладает степень с натуральным показателем (при условии, что основание не равно нулю).

Пример 3

Степень a с целым отрицательным показателем n можно представить в виде дроби 1 a n . Таким образом, a - n = 1 a n при условии a ≠ 0 и n – любое натуральное число.

Проиллюстрируем нашу мысль конкретными примерами:

Пример 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

В последней части параграфа попробуем изобразить все сказанное наглядно в одной формуле:

Определение 4

Степень числа a с натуральным показателем z ​​ – это: a z = a z , e с л и z - ц е л о е п о л о ж и т е л ь н о е ч и с л о 1 , z = 0 и a ≠ 0 , (п р и z = 0 и a = 0 п о л у ч а е т с я 0 0 , з н а ч е н и я в ы р а ж е н и я 0 0 н е о п р е д е л я е т с я)   1 a z , е с л и z - ц е л о е о т р и ц а т е л ь н о е ч и с л о и a ≠ 0 (е с л и z - ц е л о е о т р и ц а т е л ь н о е ч и с л о и a = 0 п о л у ч а е т с я 0 z , е г о з н а ч е н и е н е о п р е д е л я е т с я)

Что такое степени с рациональным показателем

Мы разобрали случаи, когда в показателе степени стоит целое число. Однако возвести число в степень можно и тогда, когда в ее показателе стоит дробное число. Это называется степенью с рациональным показателем. В этом пункте мы докажем, что она обладает теми же свойствами, что и другие степени.

Что такое рациональные числа? В их множество входят как целые, так и дробные числа, при этом дробные числа можно представить в виде обыкновенных дробей (как положительных, так и отрицательных). Сформулируем определение степени числа a с дробным показателем m / n , где n – натуральное число, а m – целое.

У нас есть некоторая степень с дробным показателем a m n . Для того, чтобы свойство степени в степени выполнялось, равенство a m n n = a m n · n = a m должно быть верным.

Учитывая определение корня n -ной степени и что a m n n = a m , мы можем принять условие a m n = a m n , если a m n имеет смысл при данных значениях m , n и a .

Приведенные выше свойства степени с целым показателем будут верными при условии a m n = a m n .

Основной вывод из наших рассуждений таков: степень некоторого числа a с дробным показателем m / n – это корень n -ой степени из числа a в степени m . Это справедливо в том случае, если при данных значениях m , n и a выражение a m n сохраняет смысл.

1. Мы можем ограничить значение основания степени: возьмем a , которое при положительных значениях m будет больше или равно 0 , а для отрицательных – строго меньше (поскольку при m ≤ 0 мы получаем 0 m , а такая степень не определена). В таком случае определение степени с дробным показателем будет выглядеть следующим образом:

Степень с дробным показателем m / n для некоторого положительного числа a есть корень n -ной степени из a, возведенного в степень m . В виде формулы это можно изобразить так:

Для степени с нулевым основанием это положение также подходит, но только в том случае, если ее показатель – положительное число.

Степень с нулевым основанием и дробным положительным показателем m / n можно выразить как

0 m n = 0 m n = 0 при условии целого положительного m и натурального n .

При отрицательном отношении m n < 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Отметим один момент. Поскольку мы ввели условие, что a больше или равно нулю, то у нас оказались отброшены некоторые случаи.

Выражение a m n иногда все же имеет смысл при некоторых отрицательных значениях a и некоторых m . Так, верны записи (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 , в которых основание отрицательно.

2. Второй подход – это рассмотреть отдельно корень a m n с четными и нечетными показателями. Тогда нам потребуется ввести еще одно условие: степень a , в показателе которой стоит сократимая обыкновенная дробь, считается степенью a , в показателе которой стоит соответствующая ей несократимая дробь. Позже мы объясним, для чего нам это условие и почему оно так важно. Таким образом, если у нас есть запись a m · k n · k , то мы можем свести ее к a m n и упростить расчеты.

Если n – нечетное число, а значение m – положительно, a – любое неотрицательное число, то a m n имеет смысл. Условие неотрицательного a нужно, поскольку корень четной степени из отрицательного числа не извлекают. Если же значение m положительно, то a может быть и отрицательным, и нулевым, т.к. корень нечетной степени можно извлечь из любого действительного числа.

Объединим все данные выше определения в одной записи:

Здесь m/n означает несократимую дробь, m – любое целое число, а n – любое натуральное число.

Определение 5

Для любой обыкновенной сократимой дроби m · k n · k степень можно заменить на a m n .

Степень числа a с несократимым дробным показателем m / n – можно выразить в виде a m n в следующих случаях: - для любых действительных a , целых положительных значений m и нечетных натуральных значений n . Пример: 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .

Для любых отличных от нуля действительных a , целых отрицательных значений m и нечетных значений n , например, 2 - 5 3 = 2 - 5 3 , (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7

Для любых неотрицательных a , целых положительных значений m и четных n , например, 2 1 4 = 2 1 4 , (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18 .

Для любых положительных a , целых отрицательных m и четных n , например, 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , .

В случае других значений степень с дробным показателем не определяется. Примеры таких степеней: - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .

Теперь объясним важность условия, о котором говорили выше: зачем заменять дробь с сократимым показателем на дробь с несократимым. Если бы мы этого не сделали бы, то получились бы такие ситуации, скажем, 6 / 10 = 3 / 5 . Тогда должно быть верным (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , но - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , а (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Определение степени с дробным показателем, которое мы привели первым, удобнее применять на практике, чем второе, поэтому мы будем далее пользоваться именно им.

Определение 6

Таким образом, степень положительного числа a с дробным показателем m / n определяется как 0 m n = 0 m n = 0 . В случае отрицательных a запись a m n не имеет смысла. Степень нуля для положительных дробных показателей m / n определяется как 0 m n = 0 m n = 0 , для отрицательных дробных показателей мы степень нуля не определяем.

В выводах отметим, что можно записать любой дробный показатель как в виде смешанного числа, так и в виде десятичной дроби: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

При вычислении же лучше заменять показатель степени обыкновенной дробью и далее пользоваться определением степени с дробным показателем. Для примеров выше у нас получится:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Что такое степени с иррациональным и действительным показателем

Что такое действительные числа? В их множество входят как рациональные, так и иррациональные числа. Поэтому для того, чтобы понять, что такое степень с действительным показателем, нам надо определить степени с рациональными и иррациональными показателями. Про рациональные мы уже упоминали выше. Разберемся с иррациональными показателями пошагово.

Пример 5

Допустим, что у нас есть иррациональное число a и последовательность его десятичных приближений a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Например, возьмем значение a = 1 , 67175331 . . . , тогда

a 0 = 1 , 6 , a 1 = 1 , 67 , a 2 = 1 , 671 , . . . , a 0 = 1 , 67 , a 1 = 1 , 6717 , a 2 = 1 , 671753 , . . .

Последовательности приближений мы можем поставить в соответствие последовательность степеней a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Если вспомнить, что мы рассказывали ранее о возведении чисел в рациональную степень, то мы можем сами подсчитать значения этих степеней.

Возьмем для примера a = 3 , тогда a a 0 = 3 1 , 67 , a a 1 = 3 1 , 6717 , a a 2 = 3 1 , 671753 , . . . и т.д.

Последовательность степеней можно свести к числу, которое и будет значением степени c основанием a и иррациональным показателем a . В итоге: степень с иррациональным показателем вида 3 1 , 67175331 . . можно свести к числу 6 , 27 .

Определение 7

Степень положительного числа a с иррациональным показателем a записывается как a a . Его значение – это предел последовательности a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , где a 0 , a 1 , a 2 , . . . являются последовательными десятичными приближениями иррационального числа a . Степень с нулевым основанием можно определить и для положительных иррациональных показателей, при этом 0 a = 0 Так, 0 6 = 0 , 0 21 3 3 = 0 . А для отрицательных этого сделать нельзя, поскольку, например, значение 0 - 5 , 0 - 2 π не определено. Единица, возведенная в любую иррациональную степень, остается единицей, например, и 1 2 , 1 5 в 2 и 1 - 5 будут равны 1 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Обращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается понятие степени только с натуральным показателем и нулём.

Понятие и свойства степеней с рациональными показателями (с отрицательным и дробным) будут рассмотрены в уроках для 8 класса.

Итак, разберёмся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение.

Вместо произведения шести одинаковых множителей 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 пишут 4 6 и произносят «четыре в шестой степени».

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 6

Выражение 4 6 называют степенью числа, где:

• 4 — основание степени ;
• 6 — показатель степени .

В общем виде степень с основанием «a » и показателем «n » записывается с помощью выражения:

Запомните!

Степенью числа «a » с натуральным показателем «n », бóльшим 1 , называется произведение «n » одинаковых множителей, каждый из которых равен числу «a ».

Запись «a n » читается так: «а в степени n » или «n -ая степень числа a ».

Исключение составляют записи:

• a 2 — её можно произносить как «а в квадрате»;
• a 3 — её можно произносить как «а в кубе».

• a 2 — «а во второй степени»;
• a 3 — «а в третьей степени».

Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0) .

Запомните!

Степенью числа «а » с показателем n = 1 является само это число:
a 1 = a

Любое число в нулевой степени равно единице.
a 0 = 1

Ноль в любой натуральной степени равен нулю.
0 n = 0

Единица в любой степени равна 1.
1 n = 1

Выражение 0 0 (ноль в нулевой степени ) считают лишённым смыслом.

• (−32) 0 = 1
• 0 253 = 0
• 1 4 = 1

При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в степень.

Пример. Возвести в степень.

• 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125
• 2,5 2 = 2,5 · 2,5 = 6,25
• ( · = = 81

  256

Возведение в степень отрицательного числа

Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом — положительным, отрицательным или нулём.

Запомните!

При возведении в степень положительного числа получается положительное число.

При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.

При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.

Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.

Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.

Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число. Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.

Запомните!

Отрицательное число, возведённое в чётную степень, есть число положительное .

Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, — число отрицательное .

Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть:

a 2 ≥ 0 при любом a .

• 2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
• −5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40

Обратите внимание!

При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (−5) 4 и −5 4 это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные.

Вычислить (−5) 4 означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.

(−5) 4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625

В то время как найти «−5 4 » означает, что пример нужно решать в 2 действия:

1. Возвести в четвёртую степень положительное число 5 .
   5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
2. Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить действие вычитание).
   −5 4 = −625

Пример. Вычислить: −6 2 − (−1) 4

−6 2 − (−1) 4 = −37

1. 6 2 = 6 · 6 = 36
2. −6 2 = −36
3. (−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
4. −(−1) 4 = −1
5. −36 − 1 = −37

Порядок действий в примерах со степенями

Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.

Запомните!

В выражениях со степенями, не содержащими скобки, сначала выполняют вовзведение в степень , затем умножение и деление , а в конце сложение и вычитание .

Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.

Пример. Вычислить:

Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоваться таблицей степеней , которую вы можете бесплатно скачать на нашем сайте.

Для проверки своих результатов вы можете воспользоваться на нашем сайте калькулятором «

Возведение в отрицательную степень - один из основных элементов математики, который часто встречается при решении алгебраических задач. Ниже приведена подробная инструкция.

Как возводить в отрицательную степень - теория

Когда мы число в обычную степень, мы умножаем его значение несколько раз. Например, 3 3 = 3×3×3 = 27. С отрицательной дробью все наоборот. Общий вид по формуле будет иметь следующий вид: a -n = 1/a n . Таким образом, чтобы возвести число в отрицательную степень, нужно единицу поделить на данное число, но уже в положительной степени.

Как возводить в отрицательную степень - примеры на обычных числах

Держа вышеприведенное правило на уме, решим несколько примеров.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Ответ: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Ответ -4 -2 = 1/16.

Но почему ответ в первом и втором примерах одинаковый? Дело в том, что при возведении отрицательного числа в четную степень (2, 4, 6 и т.д.), знак становится положительным. Если бы степень была четной, то минус сохранился:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Как возводить в отрицательную степень - числа от 0 до 1

Вспомним, что при возведении числа в промежутке от 0 до 1 в положительную степень, значение уменьшается с возрастанием степени. Так например, 0,5 2 = 0,25. 0,25

Пример 3: Вычислить 0,5 -2
Решение: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Ответ: 0,5 -2 = 4

Разбор (последовательность действий):

• Переводим десятичную дробь 0,5 в дробную 1/2. Так легче.
  Возводим 1/2 в отрицательную степень. 1/(2) -2 . Делим 1 на 1/(2) 2 , получаем 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Пример 4: Вычислить 0,5 -3
Решение: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Пример 5: Вычислить -0,5 -3
Решение: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Ответ: -0,5 -3 = -8

Исходя из 4-го и 5-ого примеров, сделаем несколько выводов:

• Для положительного числа в промежутке от 0 до 1 (пример 4), возводимого в отрицательную степень, четность или нечетность степени не важна, значение выражения будет положительным. При этом, чем больше степень, тем больше значение.
• Для отрицательного числа в промежутке от 0 до 1 (пример 5), возводимого в отрицательную степень, четность или нечетность степени неважна, значение выражения будет отрицательным. При этом, чем больше степень, тем меньше значение.

Как возводить в отрицательную степень - степень в виде дробного числа

Выражения данного типа имеют следующий вид: a -m/n , где a - обычное число, m - числитель степени, n - знаменатель степени.

Рассмотрим пример:
Вычислить: 8 -1/3

Решение (последовательность действий):

• Вспоминаем правило возведения числа в отрицательную степень. Получим: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
• Заметьте, в знаменателе число 8 в дробной степени. Общий вид вычисления дробной степени таков: a m/n = n √8 m .
• Таким образом, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Получаем кубический корень из восьми, который равен 2. Исходя отсюда, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Ответ: 8 -1/3 = 2

Со школы всем нам известно правило о возведении в степень: любое число с показателем N равно результату перемножения данного числа на самого себя N-ное количество раз. Иными словами, 7 в степени 3 - это 7, умноженное на себя три раза, то есть 343. Еще одно правило - возведение любой величины в степень 0 дает единицу, а возведение отрицательной величины представляет собой результат обычного возведения в степень, если она четная, и такой же результат со знаком «минус», если она нечетная.

Правила же дают и ответ, как возводить число в отрицательную степень. Для этого нужно возвести обычным способом нужную величину на модуль показателя, а потом единицу поделить на результат.

Из этих правил становится понятно, что выполнение реальных задач с оперированием большими величинами потребует наличия технических средств. Вручную получится перемножить на самого себя максимум диапазон чисел до двадцати-тридцати, и то не более трех-четырех раз. Это не говоря уж о том, чтобы потом еще и единицу разделить на результат. Поэтому тем, у кого нет под рукой специального инженерного калькулятора, мы расскажем, как возвести число в отрицательную степень в Excel.

Решение задач в Excel

Для разрешения задач с возведением в степень Excel позволяет пользоваться одним из двух вариантов.

Первое - это использование формулы со стандартным знаком «крышечка». Введите в ячейки рабочего листа следующие данные:

Таким же образом можно возвести нужную величину в любую степень - отрицательную, дробную. Выполним следующие действия и ответим на вопрос о том, как возвести число в отрицательную степень. Пример:

Можно прямо в формуле подправить =B2^-C2.

Второй вариант - использование готовой функции «Степень», принимающей два обязательных аргумента - число и показатель. Чтобы приступить к ее использованию, достаточно в любой свободной ячейке поставить знак «равно» (=), указывающий на начало формулы, и ввести вышеприведенные слова. Осталось выбрать две ячейки, которые будут участвовать в операции (или указать конкретные числа вручную), и нажать на клавишу Enter. Посмотрим на нескольких простых примерах.

			Формула	Результат
			СТЕПЕНЬ(B2;C2)
			СТЕПЕНЬ(B3;C3)	0,002915

Как видим, нет ничего сложного в том, как возводить число в отрицательную степень и в обычную с помощью Excel . Ведь для решения данной задачи можно пользоваться как привычным всем символом «крышечка», так и удобной для запоминания встроенной функцией программы. Это несомненный плюс!

Перейдем к более сложным примерам. Вспомним правило о том, как возводить число в отрицательную степень дробного характера, и увидим, что эта задача очень просто решается в Excel.

Дробные показатели

Если кратко, то алгоритм вычисления числа с дробным показателем следующий.

1. Преобразовать дробный показатель в правильную или неправильную дробь.
2. Возвести наше число в числитель полученной преобразованной дроби.
3. Из полученного в предыдущем пункте числа вычислить корень, с условием, что показателем корня будет знаменатель дроби, полученной на первом этапе.

Согласитесь, что даже при оперировании малыми числами и правильными дробями подобные вычисления могут занять немало времени. Хорошо, что табличному процессору Excel без разницы, какое число и в какую степень возводить. Попробуйте решить на рабочем листе Excel следующий пример:

Воспользовавшись вышеприведенными правилами, вы можете проверить и убедиться, что вычисление произведено правильно.

Таблица примеров

Проверьте на рабочем листе книги Excel следующие примеры. Чтобы все заработало корректно, вам необходимо использовать смешанную ссылку при копировании формулы. Закрепите номер столбца, содержащего возводимое число, и номер строки, содержащей показатель. Ваша формула должна иметь примерно следующий вид: «=$B4^C$3».

Число / Степень

Обратите внимание, что положительные числа (даже нецелые) без проблем вычисляются при любых показателях. Не возникает проблем и с возведением любых чисел в целые показатели. А вот возведение отрицательного числа в дробную степень обернется для вас ошибкой, поскольку невозможно выполнить правило, указанное в начале нашей статьи про возведение отрицательных чисел, ведь четность - это характеристика исключительно ЦЕЛОГО числа.

Числом, возведенным в степень, называют такое число, которое несколько раз умножено само на себя.

Степень числа с отрицательным значением (a - n) можно определить на подобии того, как определяется степень того же числа с положительным показателем (a n) . Однако, оно также требует дополнительного определения. Определяется такая формула как:

a - n = (1 / a n)

Свойства отрицательных значений степеней чисел аналогичны степеням с положительным показателем. Представленное уравнение a m / a n = a m-n может быть справедливым как

«Нигде, как в математике, ясность и точность вывода не позволяет человеку отвертеться от ответа разговорами вокруг вопроса ».

А. Д. Александров

при n больше m , так и при m больше n . Рассмотрим на примере: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Для начала необходимо определить то число, которое выступает определением степени. b=a(-n) . В этом примере -n является показателем степени, b - искомое числовое значение, a - основание степени в виде натурального числового значения. Затем определить модуль, то есть абсолютное значение отрицательного числа, которое выступает в роли показателя степени. Вычислить степень данного числа относительного абсолютного числа, как показателя. Значение степени находится делением единицы на полученное число.

Рис. 1

Рассмотри степень числа с отрицательным дробным показателем. Представим, что число а это любое положительное число, числа n и m - натуральные числа. Согласно определению a , которое возведено в степень - равняется единице, разделенной на это же число с положительной степенью (рис 1). Когда степенью числа является дробь, то в таких случаях используются исключительно числа с положительными показателями.

Стоит помнить , что ноль никогда не может быть показателем степени числа (правило деления на ноль).

Распространению такого понятия как число стали такие манипуляции, как расчеты измерения, а также развитие математики, как науки. Ввод отрицательных значений было обусловлено развитием алгебры, которая давала общие решения арифметических задач, независимо от их конкретного смысла и исходных числовых данных. В индии еще в VI-XI веках отрицательные значения чисел систематически употребляли во время решения задач и растолковывались таким же образом, что и сегодня. В европейской науке отрицательные числа начали обширно употребляться благодаря Р. Декарту, который дал геометрическое толкование отрицательным числам, как направлениям отрезков. Именно Декарт предложил обозначение числа возведенного в степень отображать как двухэтажную формулу a n .